Szentpétervárott látta meg a napvilágot. Apja sikeres dán kereskedő, a szentpétervári tőzsde alkusza, a művészetek iránt fogékony férfiú volt, anyja orosz származású zenész. Zenei és képzőművészi képességeket egyaránt örökölt szüleitől, kimagaslóan hegedült, nagyszerűen rajzolt. Apja nehezen viselte a hosszú orosz telet, ezért a család 1856-ban Németországba települt. Először Wiesbadenbe költöztek, Georg itt kezdte meg a gimnáziumot, később a darmstadti reálgimnáziumba járt. 1862-től a zürichi egyetemre iratkozott be, majd apja 1863-ban bekövetkezett halála után a berlini egyetemen fejezte be felsőfokú tanulmányait. 1867-ben itt szerezte doktorátusát is a számelmélet témakörében. Berlini tartózkodása alatt részt vett a helyi Matematikai Társaság munkájában, amelynek 1864 és 1865 között elnöke volt. Először egy berlini leányiskolában tanított, majd kinevezték a hallei egyetem magántanárának. Figyelme az analízis felé fordult, mert egyik idősebb kollégája, Eduard Heine felhívta figyelmét a Fourier-sorok (trigonometrikus sorok) egyértelműségének problémájára. 1870-ben bebizonyította, hogy minden függvény legfeljebb egyféleképpen állítható elő trigonometrikus sor összegeként, és a rákövetkező években több cikket is publikált a tárgykörben. 1872-ben kezdett el azzal foglalkozni, amit ma talán legnagyobb érdemének tartanak. Cantor előtt a matematikusok azt az álláspontot képviselték, hogy a végtelenek között nem lehet értelmes módon különbséget tenni. 1874-ben a tekintélyes Journal für die reine und angewandte Mathematik című folyóiratban (amelyet matematikai berkekben a periodika alapítójáról, Leopold Crelléről csak Crellének neveztek) közölt egy cikket, amelyet a tudománytörténet a modern halmazelmélet megszületésének tekint. 1874-ben publikálta híres tételét arról, hogy két végtelen halmazt különböző számosságúnak tekinthetünk, ha nincs köztük egy-egyértelmű megfeleltetés, ekkor legalább kétféle végtelen számosság van. Belátta, hogy a természetes számok (a pozitív egész számok) halmaza, illetve a valós számok (a racionális és az irracionális számok) halmaza különböző számosságú. Gyakran váltott levelet Richard Dedekind német matematikussal, akinek először számolt be meglepő eredményeiről: felismerte, hogy egyértelmű megfeleltetés van a [0,1] intervallum és az n-dimenziós tér pontjai között, ezért a különböző dimenziójú tereket nem nagyságuk különbözteti meg. A Crellében közölt tanulmánya élénk kritikai visszhangot váltott ki, több írása nem is jelent meg itt. Tanulmányozta az egyenlő számosságú és a megszámlálható halmazokat. Vizsgálta a dimenziót, és kiemelte, hogy az általa megadott mindkét irányba egyértelmű leképezés az egységintervallum és az egységnégyzet között nem folytonos. A Mathematische Annalenben 1879 és 1884 között publikált, hat részből álló cikksorozata a halmazelméletbe való bevezetésnek tekinthető. 1884 kezdődött viaskodása a kontinuumhipotézissel, azzal az állítással, hogy valós számok minden halmaza, amely nem véges vagy megszámlálható, olyan nagy, mint a valós számok egész halmaza. Arra a belátásra szeretett volna jutni, hogy a természetes számok halmazának számossága után közvetlenül a kontinuum-számosság, azaz a valós számok számossága következik. A bizonyítás nagyon megviselte a szervezetét, többször hitte, hogy levezetése jó, de csakhamar kiderült, hogy a bizonyítás hibás. 1895-ben összefoglaló cikket jelentetett meg, amelyben már keserűen ismerte be, hogy halmazelmélete paradoxonokra vezet. (Csak évtizedek múlva jöttek rá arra, hogyan lehet úgy felépíteni a halmazelméletet, hogy ne tartalmazzon ellentmondást, de megőrizze az alkalmazások gazdagságát.) A halmazelmélet témakörében írott utolsó két cikke 1895-ben, illetve 1897-ben jelent meg a Mathematische Annalenben. 1899-ben újabb paradoxonra bukkant, nevezetesen arra, hogy mi a számossága az összes halmazból álló halmaznak. Munkássága élénk vitát váltott ki kora matematikusai között, hiszen a halmazelmélet létrejötte a matematika paradigmaváltásához vezetett. 1911-ben a St. Andrews Egyetem 500 éves évfordulójára tartott ünnepség díszvendégeként hívták meg Skóciába. 1918. január 6-án szívrohamban hunyt el.